méthodes
pour calculer
la valeur du
nombre
pour calculer
la valeur du
nombre
La propriété remarquable du nombre e est que sa fonction exponentielle (e^x) et sa dérivée (e^x)' sont égales!
Quelle est donc la valeur de ce nombre e? Et comment calculer cette valeur?
Cette page popose deux démarches pour calculer la valeur du nombre e:
1) une démarche par approche,
2) une démarche par équation.
1. Démarche par approche:
Soit la fonction 2^x (en rouge) et sa dérivée (en bleu) dans la première image ci-dessous. On constate un écart entre la fonction primitive et sa dérivée. Les images suivantes montrent que l'écart se resserre en augmentant de 0,1 la fonction primitive (2,1^x, 2,2^x, 2,3^x, etc.). Et de constater, que les courbes (primitive et dérivée) se confondent quand la fonction primitive est égale à 2,7^x (dernière image).
Note: les 8 images qui suivent ont été réalisées à partir de l'excellente calcultarice graphique (en ligne et gratuite) DESMOS.
f(2,0^x)
image 2 sur 8
f(2,1^x)
(la fonction dérivée se rapproche)
image 3 sur 8
f(2,2^x)
(la fonction dérivée se rapproche)
image 4 sur 8
f(2,3^x)
(la fonction dérivée se rapproche)
image 5 sur 8
f(2,4^x)
(la fonction dérivée se rapproche)
image 6 sur 8
f(2,5^x)
(la fonction dérivée se rapproche)
image 7 sur 8
f(2,6^x)
(la fonction dérivée se rapproche)
image 8 sur 8
f(2,7^x)
(la fonction dérivée se confond avec sa primitive)
2. Démarche par équation:
Calculons, tout d'abord, la dérivée de la fonction exponentielle 2^x:
Rappel:
Développement:
On trouve donc ...
• 0,693 pour f'(2^x)
et de la même façon ...
• 0,741 pour f'(2,1^x)
• 0,788 pour f'(2,2^x)
• 0,832 pour f'(2,3^x)
• 0,875 pour f'(2,4^x)
• 0,916 pour f'(2,5^x)
• 0,955 pour f'(2,6^x)
• 0,993 pour f'(2,7^x)
A ce stade, la question est:
dans
f'(n^x) = n^x * 1
que vaut n
avec un coefficient = 1?
Réponse:
Conclusion:
• n = 2,71828 est le nombre e
• f(e^x) = f'(e^x)
• f(2,71828^x) = f'(2,71828^x)
Il y a une autre méthode, très précise, définie par Leonhard EULER (1707-1783, mathématicien et physicien Suisse) qui n'est pas (encore) développée dans cette page et qui permet de calculer le nombre e avec une très grande précision comme le montre l'image ci-dessous (100 décimales):
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