résoudre

un

problème

par le

calcul intégral










Le but de cette page est de présenter la résolution d'un problème par un outil mathématique puissant et fondamental: le calcul intégral. Des prérequis sont indispensables. Seront abordés ici les fonctions, les dérivées, les primitives et le calcul intégral.









C O N T E N U

1. énoncé...................(•_•)

2. analyse..................(•_•)

3. fonctions des cercles....(•_•)

4. récapitulatif............(•_•)

5. calcul des intégrales....(•_•)

6. solution.................(•_•)

7. liens....................(•_•)










1. énoncé



01

Quelle est l'aire de la zone de couleur mauve dans le carré (image ci-dessus) de 10 sur 10 ?









2. analyse



02

La zone de couleur mauve, dont il faut calculer l'aire, se trouve à ...





03

... l'intersection de 3 cercles.





04

Il y a 2 cercles de diamètre 10 et 1 cercle de diamètre 20.





05

Repéré dans une base orthonormée, il sera aisé de calculer la fonction de chaque cercle.





06

Pour calculer la fonction de chaque cercle, il faudra tout d'abord définir leurs équations.









3. fonctions des cercles



07

Le cercle rose est de rayon 5 et son centre est en (0,0).

L'équation du cercle est (rappel):

r² = (x - a)² + (y - b)²

  • r = rayon

  • a = écart avec le centre sur x

  • b = écart avec le centre sur y

Équation du cercle rose:

  • 5² = (x - 0)² + (y - 0)²

  • 5² = x² + y²

Fonction f(x) du cercle rose:

  • 5² = x² + y²

  • y² = 5² - x²

  • y² => 2 racines: y1 et y2

  • y1 = +√(5² - x²)

  • y2 = -√(5² - x²)

  • f1(x) = +√(5² - x²)

  • f2(x) = -√(5² - x²)

  • note:

    - f1(x): demi-cercle (y > 0)

    - f1(x): demi-cercle (y < 0)






08

Le cercle bleu est de rayon 5 et son centre est en (5,5).

Équation du cercle bleu:

  • 5² = (x - 5)² + (y - 5)²

Fonction g(x) du cercle bleu:

  • 5² = (x - 5)² + (y - 5)²

  • (y - 5)² = 5² - (x - 5)²

  • y - 5 = √(5² - (x - 5)²)

  • y1 +(√(5² - (x - 5)²) + 5)

  • y2 -(√(5² - (x - 5)²) + 5)

  • g1(x) +(√(5² - (x - 5)²) + 5)

  • g2(x) -(√(5² - (x - 5)²) + 5)







09

Le cercle vert est de rayon 10 et son centre est en (0,-5).

Équation du cercle vert:

  • 10² = (x - 0)² + (y - (-5))²

  • 10² = x² + (y + 5)²

Fonction h(x) du cercle vert:

  • h1(x) = +(√(10² - x²) - 5)

  • h2(x) = -(√(10² - x²) - 5)










4. récapitulatif



10











5. calcul des intégrales