le carré

des nombres

pairs

et

des nombres

impairs










Pourquoi

les carrés des nombres

pairs sont-ils pairs ?




Un nombre n est pair si ce nombre est de la forme:

  • n = 2k

  • k = tous les entiers naturels

  • exemple: 24 = 2*12

  • exemple: 62 = 2*31

en conséquence, le carré d'un nom-bre pair s'écrit:

  • n² = (2k)²

et comme:

  • (2k)² = 2²*k² = 2*2k²

on constate que dans 2*2k²:

  • 2k² est un nombre entier

  • 2*2k² est donc de la forme 2k

et ainsi le carré d'un nombre pair est toujours un nombre pair.






Pourquoi

les carrés des nombres

impairs sont-ils impairs ?




Un nombre n est impair si ce nombre est de la forme (nombre pair + 1):

  • n = 2k+1

  • k = tous les entiers naturels

  • exemple: 25 = 2*12+1

  • exemple: 63 = 2*31+1

en conséquence, le carré d'un nom-bre impair s'écrit:

  • n² = (2k+1)²

et comme:

  • rappel: (a+b)² = a²+2ab+b²

  • (2k+1)² = 4k²+4k+1

  • 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1

on constate que dans 2(2k²+2k)+1:

  • 2k²+2k est un nombre entier

  • 2(2k²+2k)+1 est donc de la
    forme 2k+1

et ainsi le carré d'un nombre impair est toujours un nombre impair.




---===O===---

fin