résoudre

n'importe quelle

équation du

2e degré

sans

le discriminant

Cette page ne remet pas du tout en cause la pertinence de l'utilisation du calcul du discriminant pour résoudre une équation du second degré.

Cette page est comme un petit jeu mathématique: y a-t-il d'autres outils pour résoudre n'importe quelle équation du second degré sans avoir à calculer son discriminant ?

E X P L I C A T I O N

Il existe un moyen de résoudre une équation du second degré sans passer par le calcul du discriminant: la factorisation.

Cette méthode consiste à trouver une relation entre le produit de a par c d'une part, et b de l'autre.

Par exemple:

• soit l'équation x² + 6x + 8 = 0

• le produit a * c est 8 (1 * 8)

• or 8 = 1 * 8 ou 2 * 4

• et b = 6 qui est égal à 2 + 4

• donc x² + 6x + 8 = 0

• peut s'écrire: x² + 2x + 4x + 8 = 0

• ou encore: (x² + 2x) + (4x + 8) = 0

• qui devient: x(x + 2) + 4(x + 2) = 0

• qui devient: (x + 2)(x + 4) = 0

• il en découle les 2 racines:

• x + 2 = 0 donc x = -2

• x + 4 = 0 donc x = -4




Mais un tel raisonnement n'est pas évident dans la plupart des cas comme, par exemple, dans l'équation:

• 3x² + 23x - 7 = 0

• où le produit a * c est -21

• et où b est égal à 23




Mais à y bien regarder, on constate que l'on cherche une relation entre ac et b organisée de la façon suivante:

• la valeur ac doit être un produit de 2 nombres (u et v)

• la valeur b doit-être une somme de ces 2 mêmes nombres (u et v)




Pour calculer la valeur de deux nombres (u et v), dont on connaît la somme (S = u + v) et le produit (P = u * v), il existe la méthode suivante:

• calculer la demi-différence des 2 nombres: d = (u - v)/2

• en conséquence u = S/2 + d

• en conséquence v = S/2 - d

• P = u * v => P = (S/2 + d) * (S/2 - d) => P = (S/2)² - d²

• en conséquence d² = (S/2)² - P => d = sqrt[(S/2)² - P]

• connaissant S/2 et d il est alors aisé de calculer u et v

• u = S/2 + d

• v = S/2 - d

Exemple:

• S = 11 et P = 28

• d = sqrt[(S/2)² - P] = sqrt[(11/2)² - 28] = sqrt(2,25) = 1,5

• u = S/2 + d = 11/2 + 1,5 = 5,5 + 1,5 = 7

• v = S/2 - d = 11/2 - 1,5 = 5,5 - 1,5 = 4

• vérification: 7 + 4 = 11 (S) et 7 * 4 = 28 (P)







Ci-dessous, trois exemples d'équations du second degré résolues sans calcul du discriminant (il faut cliquer sur les yeux pour afficher le développement présenté pas à pas dans un document PDF):