Site de Gilles Febvrel

le

théorème

de

VARIGNON

par les vecteurs

de

CHASLES

I M P O R T A N T

I

Les vecteurs

Rappel sur les vecteurs (en géométrie euclidienne):

Un nombre est un objet mathématique qui possède une seule caractéristique:

• une grandeur

--=O=--

Un vecteur est un objet mathématique qui possède trois caractéristiques:

• une direction

• un sens

• une grandeur (appelée norme)

--=O=--

Note: afin de lever toute ambiguïté entre les mots direction et sens, il faut retenir que dans un vecteur ...

• la direction est liée à l'inclinaison

• le sens est lié aux points de départ et d'arrivée

--=O=--

Dans l'exemple de l'image ci-dessous:

• le sens du vecteur AB↑ est de A vers B

• la norme du vecteur est 9,43 (*)

• l'inclinaison du vecteur est 32° (**)

(*) 9,43 = Racine_Carrée(8²+5²)

(**) 32° = Arc_Tangente(5/8)

01

Comparaison entre vecteurs:

Voir image ci-dessous:

--=O=--

1) vecteurs de couleur orange:

• sens différents
• inclinaisons différentes
• normes différentes

--=O=--

2) vecteurs de couleur verte:

• sens opposés
• inclinaisons identiques
• normes identiques

--=O=--

3) vecteurs de couleur rouge:

• sens opposés
• inclinaisons identiques
• normes différentes

--=O=--

4) vecteurs de couleur bleue:

• sens identiques
• inclinaisons identiques
• normes identiques

II

Relation de CHASLES

III

Théorème de VARIGNON

Un parallélogramme inscrit dans un tétragone quelconque:

Soit un tétragone (polygone à quatre côtés) ou quadrilatère, quelconque ...

... sur lequel tétragone sont matérialisés les milieux de chacun des quatre côtés.

En reliant les quatre points on obtient (toujours) un parallélogramme.

--=O=--

Note: un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont égaux et parallèles deux à deux.

Le tétragone sera désigné par les lettres ABCD et le parallélogramme par les lettre IJKL.

En reliant les sommets A à C, apparait l'une (AC) des deux diagonales du quadrilatère ABCD.

R A P P E L

Démonstration du théorème par les vecteurs:

Sachant que:

• IJ↑ = IB↑ + BJ↑

• comme IB↑ = 1/2(AB↑) et BJ↑ = 1/2(BC↑)

• IJ↑ = 1/2(AB↑) + 1/2(BC↑)

• mise en facteur commun de 1/2

• IJ↑ = 1/2(AB↑ + BC↑)

• et comme AB↑ + BC↑ = AC↑

• IJ↑ = 1/2(AC↑)

... et sachant que:

• LK↑ = LD↑ + DK↑

• comme LD↑ = 1/2(AD↑) et DK↑ = 1/2(DC↑)

• LK↑ = 1/2(AD↑) + 1/2(DC↑)

• mise en facteur commun de 1/2

• LK↑ = 1/2(AD↑ + DC↑)

• et comme AD↑ + DC↑ = AC↑

• LK↑ = 1/2(AC↑)

Conclusion:

• comme IJ↑ = 1/2(AC↑) et LK↑ = 1/2(AC↑)

• alors IJ↑ = LK↑ et donc IJKL est un parallélogramme

--=O=--

Note (rappel): ne jamais oublier qu'un vecteur (par exemple AB↑) n'est pas seulement caractérisé par sa norme (longueur entre A et B) mais également par son sens (de A vers B ou de B vers A) et par sa direction (qui n'est pas exprimée en degrés d'angle mais par son orientation mesurée sur les axes x et y d'un repère orthonormé, comme expliqué plus haut).

Ci-dessous, 4 vecteurs identiques (DA↑ = CB↑ = EF↑ = GH↑) non colinéaires (*) réunis pour former ici 3 parallélogrammes (ABCD, AFED et HFEG).

(*) des vecteurs colinéaires sont des vecteurs situés sur la même ligne droite.