les

formules

du calcul de

la racine carrée

des nombres

complexes

(z)

page créée le 25 janvier 2023

(dernière mise à jour: 7 février 2023)

En introduction, cette page propose un rappel sur les nombres complexes.

Rappel

  1) Le concept i² = -1
  2) Le nombre z: module et argument
  3) L'utilisation de la trigonométrie

Racine carrée de z

  1) Racine carrée de z = i
  2) Racine carrée de z = -5 + 12i
  3) Incidences sur les arguments
  4)
  5)

RAPPEL

La résolution de toutes les équations étaient impossibles aussitôt que se présentait une racine carrée d'un nombre négatif.

Pour contourner cet obstacle, un nouvel ensemble a été défini dans lequel il existe un nombre qui, élevé au carré, est égal à -1.

Ce nombre s'appelle i ("i" comme imaginaire) avec i² = -1 et, en conséquence, i = √(-1).

=>

Ce nouvel ensemble est l'ensemble C, c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes dont l'unité est i.

Par exemple, +49 possède 2 racines carrées qui sont +7 et -7 car (+7)² = +49 et (-7)² = +49

Par contre, -49 ne peut pas posséder de racines carrées car aucun nombre multiplié par lui-même ne peut donner un résultat négatif, fondamentalement dans l'ensemble R.

Mais dans l'ensemble des nombres complexes (C) c'est possible. Exemple:


Autres exemples:

Soit à résoudre l'équation: x² + 2x + 4 = 0

  • Δ = 2² - 4*1*4 = 4 - 16 = -12
  • √Δ = √(-12) = √(2²*-3) = 2i√3
  • racine 1: x = (-2 + 2i√3)/2 = -1 + i√3 (ou -1 + 1,732i)
  • racine 2: x = (-2 - 2i√3)/2 = -1 - i√3 (ou -1 - 1,732i)

Le nombre -1 + i√3 est un nombre complexe composé d'une partie réelle (-1) et d'une partie imaginaire (i√3).

TOUS les nombres complexes sont sur un modèle: a + ib (a étant la partie réelle et ib la partie imaginaire).

Un nombre "simple" comme 4i√3 sera interprété comme 0 + 4i√3 sur le modèle de a + ib avec a = 0 et ib = 4i√3.

Reporter la racine 1 (-1 + i√3), de l'équation prise comme exemple, sur un repère cartésien orthogonal appelé également plan complexe permet de bien comprendre toute la subtilité des nombres complexes (image ci-dessous et commentaires ci-après):



Le plan complexe (ci-dessus) comprend l'axe des nombres réels (Re) et l'axe des nombres imaginaires (Im).

Le nombre complexe -1 + i√3 est le point dans l'espace du plan complexe aux coordonnées a = -1 de l'axe Re et ib = i√3 de l'axe Im.



Occupant le plan complexe dans deux dimensions, les nombres complexes se comportent tels des vecteurs dans un espace vectoriel.

Chaque nombre complexe est identifiable à un vecteur dont l'origine est le point zéro appelé O (lettre O) du plan complexe et la destination un point appelé M. Les coordonnées du point M sont les valeurs a et b du nombre complexe.

Le vecteur OM est l'hypothénuse d'un triangle rectangle ayant a et b comme côtés de l'angle droit.

Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, il est aisé de calculer la longueur du vecteur que l'on appelle module et qui est symbolisée par deux barres verticales.

Par exemple, le module du nombre complexe z = -1 + i√3 est:

  • |z| = √(a² + b²)
  • |z| = √[(-1)² + (√3)²]
  • |z| = √(1 + 3)
  • |z| = √(4)
  • |z| = 2







Dans le plan complexe, l'angle du vecteur est avec le module (longueur du vecteur) l'autre élément essentiel pour caractériser la représentation graphique du nombre complexe.

Cet angle est appelé argument du nombre complexe.

L'argument est l'angle entre la demi-droite des nombres réels positifs et le module du nombre complexe.

Sachant qu'un nombre complexe est du type z = a + ib, la formule pour calculer l'argument est la suivante:



Exemples:


  • z = +1 + i√3 => arg(z) = 2*arctan[√3/(1 + 2)] = 60°
  • z = -1 + i√3 => arg(z) = 2*arctan[√3/(-1 + 2)] = 120°
  • z = -1 - i√3 => arg(z) = 2*arctan[-√3/(-1 + 2)] = -120°
  • z = +1 - i√3 => arg(z) = 2*arctan[-√3/(1 + 2)] = -60°

A partir du module et de l'argument, la trigonométrie permet de calculer le nombre complexe correspondant:
  • soit z le nombre complexe
  • soit |z| le module
  • soit arg l'argument
  • afin d'obtenir:
  • z = |z|[cosinus(arg) + i*sinus(arg)]

Exemple:
  • soit le module |z| = 2
  • soit l'argument arg = 120°
  • z = |z|[cos(arg) + i*sin(arg)]
  • z = 2[cos(120) + i*sin(120)]
  • z = 2(-0,5 + i*0,866)
  • z = -1 + i*1,732
  • z = -1 + i*√3

Autre exemple:
  • soit le module |z| = 13
  • soit l'argument arg = 112,62°
  • z = |z|[cos(arg) + i*sin(arg)]
  • z = 13[cos(112,62) + i*sin(112,62)]
  • z = 13(-0,384 + i*0,923)
  • z = -4,992 + i*11,999
  • z = -5 + i12

Autre exemple:
  • soit le module |z| = 1
  • soit l'argument arg = 90°
  • z = |z|[cos(arg) + i*sin(arg)]
  • z = 1[cos(90) + i*sin(90)]
  • z = 1(0 + i*1)
  • z = 0 + i*1
  • z = i

Dernier exemple:
  • soit le module |z| = √2
  • soit l'argument arg = 45°
  • z = |z|[cos(arg) + i*sin(arg)]
  • z = √2[cos(45) + i*sin(45)]
  • z = √2(√2/2 + i*√2/2)
  • z = 2/2 + i*2/2
  • z = 1 + i

RACINE CARRÉE DE Z

Écrire √(i) n'a pas vraiment de sens car la fonction racine carrée n'est définie que dans l'ensemble des nombres réels (R). Et i n'est ni un réel et pas davantage un réel positif.

En conséquence, résoudre l'équation z² = i a plus de sens, et pour le même objectif, bien entendu.

On devrait même écrire, en toute rigueur, z² = 0 + 1i même si, dans pareil cas, c'est totalement neutre pour l'équation.

Résolution de l'équation z² = i:

  • z² = i
  • remplacer z par son expression algébrique:
  • (a + ib)² = i
  • développer:
  • a² + 2abi + (ib)² = i
  • a² + 2abi + i²b² = i
  • a² + 2abi + (-1)b² = i
  • a² + 2abi - b² = i
  • regrouper les termes réels:
  • (a² - b²) + 2abi = i
  • (a² - b²) + 2abi - i = 0
  • (a² - b²) + i(2ab - 1) = 0
  • noter: si z = 0 => les 2 parties (Re et Im) = 0
  • z = 0 <=> Re(z) = 0 et Im(z) = 0
  • en conséquence ...
  • (a² - b²) + i(2ab - 1) = 0
  • devient le système:
  • | (a² - b²) = 0
  • | (2ab - 1) = 0
  • 2ab - 1 = 0
  • ab = 1/2
  • b = (1/2)/a
  • b = 1/(2a)
  • remplacer b par 1/2a dans a² - b² = 0:
  • a² - (1/2a)² = 0
  • a² - 1/4a² = 0
  • 4a⁴/a² - 1/4a² = 0
  • (4a⁴ - 1)/4a² = 0
  • une fraction est nulle dès que son numérateur est nul,
  • en conséquence (4a4 - 1)/4a² = 0 devient:
  • 4a⁴ - 1 = 0
  • a⁴ - 1/4 = 0
  • (a²)² - (1/2)² = 0
  • (a² - 1/2)(a² + 1/2) = 0
  • (a² + 1/2) ne peut pas être nul, en conséquence
  • (a² - 1/2)(a² + 1/2) = 0 devient:
  • a² - 1/2 = 0
  • (a - 1/√2)(a + 1/√2) = 0
  • obtenir a (2 solutions):
  • (a - 1/√2) = 0 => a =  1/√2 =  √2/2
  • (a + 1/√2) = 0 => a = -1/√2 = -√2/2
  • obtenir b (2 solutions):
  • b = 1/(2a) et a =  1/√2 => b =  1/(2*1/√2) =  √2/2
  • b = 1/(2a) et a = -1/√2 => b = -1/(2*1/√2) = -√2/2
  • résultats finaux (image ci-dessous):



Vérifications:

  • √z = √2/2 + i√2/2
  • z = (√2/2 + i√2/2)²
  • z = (√2/2 + i√2/2)(√2/2 + i√2/2)
  • z = 2/4 + 2i/4 + 2i/4 + 2i²/4
  • z = 1/2 + i/2 + i/2 + i²/2
  • rappel important: i² = -1
  • z = 1/2 + 2i/2 - 1/2
  • z = i

  • √z = -√2/2 - i√2/2
  • z = (-√2/2 - i√2/2)²
  • z = (-√2/2 - i√2/2)(-√2/2 - i√2/2)
  • z = 2/4 + 2i/4 + 2i/4 + 2i²/4
  • z = 1/2 + i/2 + i/2 + i²/2
  • z = 1/2 + 2i/2 - 1/2
  • z = i



Résolution de l'équation z² = -5 + 12i:

  • z² = -5 + 12i
  • remplacer z par son expression algébrique:
  • (a + ib)² = -5 + 12i
  • développer:
  • a² + 2abi + (ib)² = -5 + 12i
  • a² + 2abi + i²b² = -5 + 12i
  • a² + 2abi + (-1)b² = -5 + 12i
  • a² + 2abi - b² = -5 + 12i
  • regrouper les termes réels:
  • (a² - b²) + 2abi = -5 + 12i
  • (a² - b²) + 2abi + 5 - 12i = 0
  • (a² - b²) + 5 + 2abi - 12i = 0
  • (a² - b²) + 5 + i(2ab - 12) = 0
  • noter: si z = 0 => les 2 parties (Re et Im) = 0
  • z = 0 <=> Re(z) = 0 et Im(z) = 0
  • en conséquence (a² - b²) + 5 + i(2ab - 12) = 0
  • devient le système:
  • | a² - b² + 5 = 0
  • | 2ab - 12 = 0
  • 2ab - 12 = 0
  • 2ab = 12
  • ab = 12/2
  • ab = 6
  • b = 6/a
  • => a² - b² + 5 = 0 devient:
  • a² - (6/a)² + 5 = 0
  • a² - 36/a² + 5 = 0
  • a²(a² - 36/a² + 5) = 0*a²
  • a²*a² - a²*(36/a²) + a²*5 = 0
  • a⁴ - 36 + 5a² = 0
  • a⁴ + 5a² - 36 = 0
  • si X = a² alors a⁴ + 5a² - 36 = 0 devient:
  • X² + 5X - 36 = 0
  • delta = 25 - 4*1*(-36) = 25 + 144 = 169
  • √(delta) = √169 = 13
  • racine #1: X = (-5 + 13)/2 = 8/2 = 4
  • racine #2: X = (-5 - 13)/2 = -18/2 = -9
  • a² = X => a = √X
  • racine pour X = 4: a = √4 = 2 et -2
  • racine pour X = -9: pas de solution car a est un réel
  • comme b = 6/a (voir plus haut)
  • racine pour a = 2: b = 6/a => b = 6/2 => b = 3
  • racine pour a = -2: b = 6/a => b = 6/-2 => b = -3
  • résultats finaux (image ci-dessous):



Vérifications:

  • √z = 2 + 3i
  • z = (2 + 3i)²
  • z = (2 + 3i)(2 + 3i)
  • z = 2*2 + 2*3i + 2*3i + 3i*3i
  • z = 4 + 6i + 6i + 9i²
  • rappel important: i² = -1
  • z = 4 + 12i - 9
  • z = -5 + 12i

  • √z = -2 - 3i
  • z = (-2 - 3i)²
  • z = (-2 - 3i)(-2 - 3i)
  • z = 2*2 + 2*3i + 2*3i + 3i*3i
  • z = 4 + 6i + 6i + 9i²
  • z = 4 + 12i - 9
  • z = -5 + 12i