La loi des sinus permet, connaissant deux angles et un côté de n'importe quel type de triangle, de calculer la longueur des autres côtés. Très utile, elle est le prolongement de la trigonométrie dans un triangle quelconque (et pas seulement rectangle).




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figure 1




figure 2




figure 3




figure 4



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1. LA LOI DES SINUS (ÉNONCÉ)
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• la loi des sinus dit que ...

  dans un triangle QUELCONQUE (figure 1) il existe des liens tel que:

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  sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c
  ------------------------------

• vérifions (sur la figure 1):

  sin(A)/a = sin(45)/14,64 = 0,048

  sin(B)/b = sin(60)/17,93 = 0,048

  sin(C)/a = sin(75)/20,00 = 0,048



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2. LA LOI DES SINUS (DÉMONSTRATION)
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• comment est-on arrivé à définir une telle loi (*) dans un triangle quelconque?

  (*) car le sinus est une fonction des triangles rectangles (trigonométrie)

• construisons la hauteur (h) du triangle à partir de l'angle C (figure 2)

• le triangle quelconque est maintenant composé de 2 triangles rectangles

• calculons la longueur de la hauteur h à partir du triangle rectangle de gauche:

  h = b x sin(A)

• calculons la longueur de la hauteur h à partir du triangle rectangle de droite:

  h = a x sin(B)

• nous pouvons donc écrire:

  h = b x sin(A) = a x sin(B)

• simplifions en divisant chaque calcul par a et par b:

  b x sin(A) /a /b = sin(A)/a

  a x sin(B) /a /b = sin(B)/b

• en finalité nous obtenons:

  sin(A)/a = sin(B)/b

• appliquons le même raisonnement pour une autre hauteur de ce triangle quelconque

• construisons la hauteur (h') du triangle à partir de l'angle A (figure 3)

• le triangle quelconque est maintenant composé de 2 autres triangles rectangles

• calculons la longueur de la hauteur h' à partir du triangle rectangle du haut:

  h' = b x sin(C)

• calculons la longueur de la hauteur h' à partir du triangle rectangle du bas:

  h' = c x sin(B)

• nous pouvons donc écrire:

  h' = b x sin(C) = c x sin(B)

• simplifions en divisant chaque calcul par b et par c:

  b x sin(C) /b /c = sin(C)/c

  c x sin(B) /b /c = sin(B)/b

• en finalité nous obtenons:

  sin(C)/c = sin(B)/b

• comme nous constatons que sin(B)/b est commun aux calculs de h et de h' ...

  nous pouvons écrire (loi de sinus): sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c

même type de constat pour une hauteur h" construite à partir de l'angle B



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3. LA LOI DES SINUS (APPLICATION)
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• connaissant 2 angles et 1 côté, calculer la longueur des 2 autres côtés

• données:

  soit un triangle quelconque avec deux angles consécutifs de 10° et 60°

  soit entre ces deux angles un côté de 30 mètres de long

  nous avons donc: A = 10°, B = 60°, c = 30 mètres (figure 4)

  nous devons calculer les longueurs des côtés a et b

• calcul:

  angle C = 180° - (10° + 60°) = 110°

  sin(C)/c = sin(110)/30 = 0,031323

  sin(C)/c = 0,031323 ==> sin(A)/a = sin(B)/b = 0,031323 (loi des sinus)

  sin(A)/a = 0,031323 ==> sin(10)/a = 0,031323 ==> a = sin(10)/0,031323 = 5,54 m

  sin(B)/b = 0,031323 ==> sin(60)/b = 0,031323 ==> b = sin(60)/0,031323 = 27,65 m

• réponse:

  le côté a du triangle quelconque fait 5,54 mètres

  le côté b du triangle quelconque fait 27,65 mètres





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