image 1
image 2
image 2
énoncé de l'énigme
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• Soit un grand cube blanc (image 1) constitué de 27 petits cubes (image 2).
• On peint les 6 faces du grand cube blanc en rouge (image 3).
• Ensuite on défait le grand cube rouge en démontant les 27 petits cubes.
• Puis on les remonte dans un nouvel arrangement pour refaire un grand cube blanc.
• Et on peint une nouvelle fois en rouge les 6 faces de ce grand cube blanc.
question
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Avec les 27 petits cubes pourrait-on encore reconstruire un autre grand cube dont toutes les faces seraient blanches?
• Oui?
• Non?
• Justifiez votre réponse.
Ou bien, si vous souhaitez obtenir la solution (ma solution!), allez tout en bas de cette page.
image 4
solution (mon raisonnement)
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Le grand cube est constitué de 27 petits cubes distribués de la façon suivante:
(voir image 4, ci-dessus)
• 8 petits cubes pour les 8 sommets,
• 12 petits cubes pour les 12 angles,
• 6 petits cubes pour les 6 milieux,
• 1 petit cube pour le cube central (celui qui est invisible),
• (8 + 12 + 6 + 1 font bien 27).
Après avoir peint en rouge les 6 faces du grand cube blanc, on constate que:
• les 8 petits cubes des sommets ont alors 3 faces rouges,
• les 12 petits cubes des angles ont alors 2 faces rouges,
• les 6 petits cubes des milieux ont alors 1 face rouge,
• le petit cube central, quant à lui, reste inchangé,
et on peut l'écrire ainsi (en codant un peu):
• 8 cubes TFR (TFR = Trois Faces Rouges),
• 12 cubes DRF (DFR = Deux Faces Rouges),
• 6 cubes UFR (UFR = Une Face Rouge),
• 1 cube AFR (AFR = Aucune Face Rouge).
Vérifions les données ci-dessus car le grand cube doit faire 54 faces (6 x 9):
• (8 x 3) + (12 x 2) + (6 x 1) + (1 x 0) = 54 ... c'est juste!
Réorganisons (*) les petit cubes pour refaire un grand cube tout blanc:
(*) le but est de trouver la configuration qui minimisera, pour chaque petit cube, le nombre de surfaces peintes en rouge après la prochaine peinture.
• les 6 cubes UFR sont utilisés pour 6 des 8 sommets,
• 2 des 12 cubes DFR sont utilisés pour les 2 autres sommets,
• les 10 autres cubes DRF sont utilisés pour 10 des 12 angles,
• 2 des 8 cubes TFR sont utilisés pour les 2 autres angles,
• les 6 autre cubes TFR sont utilisés pour faire les 6 milieux,
• l'unique cube AFR reste à sa place centrale.
Après avoir peint en rouge les 6 faces du "nouveau" grand cube blanc, on constate que:
• 6 cubes UFR (sommets) deviennent 6 cubes QFR (QFR = Quatre Faces Rouges),
• 2 cubes DFR (sommets) deviennent 2 cubes CFR (CFR = Cinq Faces Rouges),
• 10 cubes DFR (angles) deviennent 10 cubes QFR,
• 2 cubes TFR (angles) deviennent 2 cubes CFR,
• 6 cubes TFR (milieux) deviennent 6 cubes QFR,
• l'unique cube AFR ne change pas.
La question posée est de savoir si on peut refaire un grand cube blanc avec les 27 petits cubes dont on dispose maintenant, soit:
• 4 cubes CFR,
• 22 cubes QFR,
• 1 cube AFR.
La réponse (ma réponse!) est NON car il faut au moins 8 cubes pour les 8 sommets avec au moins 3 faces non peintes en rouge. Mis à part le cube AFR, il n'y en a aucun (les cubes UFR, DFR et TFR qui ont donc au moins 3 faces non peintes en rouge n'existent plus).
Auriez-vous raisonné autrement (mathématiquement?) et pour quelle réponse?