palindrome et miroir
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Un mot palindrome est un mot qui se lit dans les deux sens: de gauche à droite ou de droite à gauche.
Exemples:
• le mot kayak est un palindrome car il se lit dans les deux sens,
• le mot ressasser est un palindrome car il se lit dans les deux sens.
Il en est de même pour les nombres.
Exemples:
• le nombre 66 est un palindrome car il se lit dans les deux sens,
• le nombre 464 est un palindrome car il se lit dans les deux sens,
• le nombre 27872 est un palindrome car il se lit dans les deux sens.
En prenant les chiffres de droite à gauche d'un nombre on obtient le miroir de ce nombre.
Exemples:
• le nombre 321 est le miroir du nombre 123,
• le nombre 5151 est le miroir du nombre 1515,
• le nombre 999 est le miroir du nombre 999,
• le nombre 24078 est le miroir du nombre 87042,
• le nombre 88188 est le miroir du nombre 88188.
nombre de LYCHREL
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En additionant un nombre par le miroir de ce nombre on obtient un nombre palindrome.
ATTENTION: il faut souvent plusieurs itérations pour obtenir le nombre palindrome!
Exemple 1, avec le nombre 235:
• 235 + 532 = 767 qui est un nombre palindrome
Exemple 2, avec le nombre 512:
• 512 + 215 = 727 qui est un nombre palindrome
Exemple 3, avec le nombre 94:
• 94 + 49 = 143 qui n'est pas un nombre palindrome (itération 1)
• 143 + 341 = 484 qui est un nombre palindrome (itération 2)
Exemple 4, avec le nombre 197:
• 197 + 791 = 988 qui n'est pas un nombre palindrome (itération 1)
• 988 + 889 = 1877 qui n'est pas un nombre palindrome (itération 2)
• 1877 + 7781 = 9658 qui n'est pas un nombre palindrome (itération 3)
• 9658 + 8569 = 18227 qui n'est pas un nombre palindrome (itération 4)
• 18227 + 72281 = 90508 qui n'est pas un nombre palindrome (itération 5)
• 90508 + 80509 = 171017 qui n'est pas un nombre palindrome (itération 6)
• 171017 + 710171 = 881188 qui est un nombre palindrome (itération 7)
Aucun des quatre exemples ci-dessus (235, 512, 94 et 197) ne sont des nombres de LYCHREL!
Un nombre de LYCHREL est un nombre qui ne peut pas former un nombre palindrome quelque soit le nombre d'itérations.
Comment démontrer que certains nombres ne peuvent pas former un nombre palindrome?
Réponse: on ne sait pas le démontrer!
Mais alors, comment prouver qu'il existe des nombres qui ne peuvent pas former un nombre palindrome?
Réponse: PAR LE CONSTAT!
Note: ne pas pouvoir démontrer mathématiquement une caractéristique alors qu'elle semble très plausible, car vérifiée sur un grand nombre d’exemples, est ce qu'on appelle une CONJECTURE (si cette caractéristique était démontrable on pourrait en tirer un THÉORÈME).
En 1987 fut testé le nombre 196. Après 2 415 836 itérations le nombre obtenu, qui contenait un million de chiffres, n'était pas un nombre palindrome.
Depuis il fut tenté de nouveaux tests sur des ordinateurs plus rapides, avec de plus en plus d'itérations (toujours sur le nombre 196) mais en vain, on n'obtenait pas de nombre palindrome.
Sont considérés comme nombres de LYCHREL: 196, 879, 1997 et 7059 qui furent également testés sans jamais obtenir un nombre palindrome.
Le nombre 10677 n'est pas un nombre de LYCHREL car après 53 itérations on obtient le nombre palindrome 4668731596684224866951378664 (28 chiffres).
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