paradoxe

d'un cercle

qui tourne autour

d'un autre cercle






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question, réponse, constat et explication
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QUESTION:


      • soit 2 cercles de même rayon;

      • sans glissement l'un tourne autour de l'autre (resté fixe);

      • puis retrouve sa position de départ après rotation;

      • combien de tours a-t-il effectué?



RÉPONSE:


      • la réponse la plus fréquente (qui semble logique) est 1 tour;

      • la bonne réponse est 2 tours;

      • appelons CF le cercle fixe et CT le cercle qui tourne,

      • la réponse est (rayon(CF)/rayon(CT))+1 = 2 (tours),

      • et si le rayon de CF avait été 3 fois plus grand que le rayon de CT la

        réponse aurait été (rayon(CF)/rayon(CT))+1 = (3/1)+1 = 4 (tours).



CONSTAT PAR L'IMAGE:


      La planche 1 (4 images) ci-dessous montre:

      • que CT se trouve à 180° à 45° de CF (image 2),

      • et que CT a fait une rotation complète à 180° de CF (image 3),

      • et que donc CT fait 2 rotations complètes à 360° de CF (image 4).




Planche 1




AUTRE CONSTAT:


      La planche 2 (5 images) ci-dessous montre:

      • que CT sur une distance à plat égale à la circonférence de CF fait

        une seule rotation (au lieu de 2 quand cette distance est sur un rond).

      • POURQUOI?




Planche 2




EXPLICATION:


      La planche 3 ci-dessous montre:

      • que le parcours de CT est un cercle (rouge sur l'image) dont le

        rayon est: rayon (CF) + rayon (CT) soit 1 + 1 = 2;

      • la circonférence de ce cercle (rouge) est donc: 2 x 2 x Pi = 12,56;

      • la circonférence de CT est 1 x 2 x Pi = 6,28;

      • le nombre de rotations est donc bien égal à 2 (12,56/6,28).


      Prenons l'exemple où CF est 3 fois plus grand que CT:

      • le parcours de CT est un cercle dont le rayon est de 3 + 1 et

        donc la circonférence de ce cercle est 4 x 2 x Pi = 25,12;

      • le nombre de rotations est donc égal à 4 (25,12/6,28).


      On peut donc écrire:

      • le nombre de rotations se calcule de la façon suivante:

        (circonférence de CF / circonférence de CT) + 1.


      Conclusion:

      • un déplacement angulaire n'est pas un déplacement linéaire!




Planche 3




      La planche 4 ci-dessous montre:

      • que le parcours de CT est sur une distance égale à la circonférence de CF

        et non pas égale à la circonférence du cercle rouge de la planche 3

        et ainsi ne pas confondre mouvement angulaire et linéaire.




Planche 4







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Note 1: cette page est un complément à une page (*) sur le même sujet (en anglais) datée du 26-02-2018 et intitulée "controversy on a mathematical and geometrical puzzle with 2 circles".

(*) pour aller sur cette page, cliquez sur
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Note 2: je tiens à remercier Mohammed AMMAR pour sa chaîne (YouTube) intitulée "Logically Yours" (**) et dans laquelle il fait la démonstration mathématique des deux cercles.

(**) pour aller sur cette chaîne, cliquez sur
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