question
sur une
formule
(et réponse)
sur une
formule
(et réponse)
Dans un livre de mathématiques (qui date de mon adolescence) je trouve une formule qui permet de calculer la hauteur d'un triangle quelconque.
Voici donc la formule:
Application de cette formule avec l'exemple du triangle quelconque ABC ci-dessous:
- AB = 10, BC = 4 et AC = 8
- il faut calculer h
Calcul du demi-périmètre:
• (10 + 4 + 8) / 2 = 11
Calcul de la racine carrée:
• 11(11-10)(11-4)(11-8) = 231
• racine carrée de 231 = 15,198
Calcul de la hauteur h:
• 2/10 x 15,198 = 3,04
• la hauteur est égale à 3,04
On peut vérifier par une mesure sur le dessin du triangle.
On peut également vérifier par la trigonométrie: la hauteur h étant le côté opposé de l'angle A (22,33°) d'un triangle rectangle AHC dont l'hypothénuse est donc AC (qui vaut 8).
Calcul (pour vérification):
• sinus(A)=hauteur/hypothénuse
• sinus(22,33°) = h/8
• 0,3799 = h/8
• h = 0,3799 x 8
• h = 3,0392 = 3.04
• la vérification est faite!
Et maintenant, voici ma question (car je n'ai pas la réponse, et peut-être, l'avez-vous?):
Une formule, en mathématique ou en géométrie, est issue d'un raisonnement logique.
Quel est le raisonnement logique de la formule proposée ici qui utilise le demi-périmètre (et pas seulement) d'un triangle pour y calculer une hauteur?
Quel est donc ce raisonnement?
Comment démontrer cette formule?:
Si vous savez justifier cette formule, contactez-moi, s'il vous plait.
Note: la méthode qui fait intervenir la trigonométrie est limpide.
Pour trouver la réponse il fallait chercher du côté de Héron d'Alexandrie (*), mathématicien grec du premier siècle avant Jésus-Christ, qui élabora la formule (qui porte son nom) permettant de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs de ses trois côtés.
(*) Merci Laurent pour m'avoir mis sur cette voie!
La formule de Héron est celle-ci:
sachant que:
• A est l'aire
• a, b et c sont les 3 côtés
• P est le demi-périmètre:
P = (a+b+c)/2
Démonstration:
Attention: la démonstration est assez longue.
Soit le triangle ABC (le même que celui utlisé plus haut) matérialisé en 2 triangles rectangles (AHC et BHC) par la hauteur entre le sommet C (angle ACB) et le côté c. Le côté c est alors divisé en 2 "sous-côtés" c1 et c2 (c1 + c2 = c, bien naturellement):
Application du théorème de Pythagore pour le triangle BHC:
• a² = h²+c2²
• donc c2² = a²-h²
• donc c2 = √(a²-h²)
Application du théorème de Pythagore pour le triangle AHC:
• b² = h²+c1²
• comme c1 = c-c2
• donc b² = h²+(c-c2)²
• ou encore (c-c2)² = b²-h²
• ou encore c²-2cc2+c2² = b²-h²
Remplacement de c2:
• rappel: c2 = √(a²-h²)
pour obtenir:
• c²-2c√(a²-h²)+(a²-h²) = b²-h²
ce qui donne:
• c²+(a²-h²)-b²+h² = 2c√(a²-h²)
• c²+a²-h²-b²+h² = 2c√(a²-h²)
• c²+a²-b² = 2c√(a²-h²)
Les 2 termes sont mis au carré:
• (c²+a²-b²)² = (2c√(a²-h²))²
• (c²+a²-b²)² = 4c²(a²-h²)
(c²+a²-b²)²
• ——————————— = (a²-h²)
4c²
Le terme h² est isolé:
(c²+a²-b²)²
• h² = a² - ———————————
4c²
4c².a²
• a² est équivalent à: ——————
4c²
• donc:
4c².a²-(c²+a²-b²)²
• h² = ——————————————————
4c²
2ca²-(c²+a²-b²)²
• h² = ————————————————
4c²
• rappel: x²-y² = (x+y).(x-y)
• donc:
[2ca+(c²+a²-b²)].[2ca-(c²+a²-b²)]
• h² = —————————————————————————————————
4c²
(2ca+c²+a²-b²).(2ca-c²-a²+b²)
• h² = —————————————————————————————
4c²
(c²+2ca+a²-b²).(b²-c²+2ca-a²)
• h² = —————————————————————————————
4c²
[(c²+2ca+a²)-b²].[b²-(c²-2ca+a²)]
• h² = —————————————————————————————————
4c²
[(c+a)²-b²].[b²-(c-a)²]
• h² = ———————————————————————
4c²
[(c+a)+b].[(c+a)-b].[b+(c-a)].[b-(c-a)]
• h² = ———————————————————————————————————————
4c²
(c+a+b).(c+a-b).(b+c-a).(b-c+a)
• h² = ———————————————————————————————
4c²
(a+b+c).(a-b+c).(-a+b+c).(a+b-c)
• h² = ————————————————————————————————
4c²
Le 1er terme (a+b+c) peut-être répliqué dans les 3 autres car:
• le 2e terme (a-b+c) est aussi égal à (a+b+c-2b)
• le 3e terme (-a+b+c) est aussi égal à (a+b+c-2a)
• le 4e terme (a+b-c) est aussi égal à (a+b+c-2c)
et donc:
(a+b+c).(a+b+c-2b).(a+b+c-2a).(a+b+c-2c)
• h² = ————————————————————————————————————————
4c²
• h² = —————————————————————————————————
4c²
(2ca+c²+a²-b²).(2ca-c²-a²+b²)
• h² = —————————————————————————————
4c²
(c²+2ca+a²-b²).(b²-c²+2ca-a²)
• h² = —————————————————————————————
4c²
[(c²+2ca+a²)-b²].[b²-(c²-2ca+a²)]
• h² = —————————————————————————————————
4c²
[(c+a)²-b²].[b²-(c-a)²]
• h² = ———————————————————————
4c²
[(c+a)+b].[(c+a)-b].[b+(c-a)].[b-(c-a)]
• h² = ———————————————————————————————————————
4c²
(c+a+b).(c+a-b).(b+c-a).(b-c+a)
• h² = ———————————————————————————————
4c²
(a+b+c).(a-b+c).(-a+b+c).(a+b-c)
• h² = ————————————————————————————————
4c²
Le 1er terme (a+b+c) peut-être répliqué dans les 3 autres car:
• le 2e terme (a-b+c) est aussi égal à (a+b+c-2b)
• le 3e terme (-a+b+c) est aussi égal à (a+b+c-2a)
• le 4e terme (a+b-c) est aussi égal à (a+b+c-2c)
et donc:
(a+b+c).(a+b+c-2b).(a+b+c-2a).(a+b+c-2c)
• h² = ————————————————————————————————————————
4c²
Comme (a+b+c) est le périmètre du triangle, il est appelé P et donc:
P(P-2a)(P-2b)(P-2c)
• h² = ———————————————————
4c²
√[P(P-2a)(P-2b)(P-2c)]
• h = ——————————————————————
2c
La formule:
base.hauteur
• Aire = ————————————
2
permet d'écrire:
1 √[P(P-2a)(P-2b)(P-2c)]
• A = — c ——————————————————————
2 2c
1
• A = — √[P(P-2a)(P-2b)(P-2c)]
4
Vérification:
• a = 4
• b = 8
• c = 10
• P = 4+8+10 = 22
• P(P-2a)(P-2b)(P-2c)
= 22(22-4)(22-8)(22-10) = 3696
• √(3696) = 60,7947
• 60,7947/2c = 60,7947/20 = 3,04
• h = 3,04 (résulat attendu!)
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