question

sur une

formule

(et réponse)










F O R M U L E


Dans un livre de mathématiques (qui date de mon adolescence) je trouve une formule qui permet de calculer la hauteur d'un triangle quelconque.





Voici donc la formule:





Application de cette formule avec l'exemple du triangle quelconque ABC ci-dessous:

- AB = 10, BC = 4 et AC = 8
- il faut calculer h



Calcul du demi-périmètre:

• (10 + 4 + 8) / 2 = 11

Calcul de la racine carrée:

• 11(11-10)(11-4)(11-8) = 231
• racine carrée de 231 = 15,198

Calcul de la hauteur h:

• 2/10 x 15,198 = 3,04
• la hauteur est égale à 3,04

On peut vérifier par une mesure sur le dessin du triangle.

On peut également vérifier par la trigonométrie: la hauteur h étant le côté opposé de l'angle A (22,33°) d'un triangle rectangle AHC dont l'hypothénuse est donc AC (qui vaut 8).



Calcul (pour vérification):

• sinus(A)=hauteur/hypothénuse
• sinus(22,33°) = h/8
• 0,3799 = h/8
• h = 0,3799 x 8
• h = 3,0392 = 3.04
• la vérification est faite!



Q U E S T I O N


Et maintenant, voici ma question (car je n'ai pas la réponse, et peut-être, l'avez-vous?):

Une formule, en mathématique ou en géométrie, est issue d'un raisonnement logique.

Quel est le raisonnement logique de la formule proposée ici qui utilise le demi-périmètre (et pas seulement) d'un triangle pour y calculer une hauteur?

Quel est donc ce raisonnement?

Comment démontrer cette formule?:



Si vous savez justifier cette formule, contactez-moi, s'il vous plait.

Note: la méthode qui fait intervenir la trigonométrie est limpide.



R É P O N S E


Pour trouver la réponse il fallait chercher du côté de Héron d'Alexandrie (*), mathématicien grec du premier siècle avant Jésus-Christ, qui élabora la formule (qui porte son nom) permettant de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs de ses trois côtés.

(*) Merci Laurent pour m'avoir mis sur cette voie!

La formule de Héron est celle-ci:


A = √(P(P-a)(P-b)(P-c))


sachant que:

• A est l'aire

• a, b et c sont les 3 côtés

• P est le demi-périmètre:

  P = (a+b+c)/2

Démonstration:

Attention: la démonstration est assez longue.

Soit le triangle ABC (le même que celui utlisé plus haut) matérialisé en 2 triangles rectangles (AHC et BHC) par la hauteur entre le sommet C (angle ACB) et le côté c. Le côté c est alors divisé en 2 "sous-côtés" c1 et c2 (c1 + c2 = c, bien naturellement):



Application du théorème de Pythagore pour le triangle BHC:

• a² = h²+c2²

• donc c2² = a²-h²

• donc c2 = √(a²-h²)

Application du théorème de Pythagore pour le triangle AHC:

• b² = h²+c1²

• comme c1 = c-c2

• donc b² = h²+(c-c2)²

• ou encore (c-c2)² = b²-h²

• ou encore c²-2cc2+c2² = b²-h²

Remplacement de c2:

• rappel: c2 = √(a²-h²)

pour obtenir:

• c²-2c√(a²-h²)+(a²-h²) = b²-h²

ce qui donne:

• c²+(a²-h²)-b²+h² = 2c√(a²-h²)

• c²+a²-h²-b²+h² = 2c√(a²-h²)

• c²+a²-b² = 2c√(a²-h²)

Les 2 termes sont mis au carré:

• (c²+a²-b²)² = (2c√(a²-h²))²

• (c²+a²-b²)² = 4c²(a²-h²)

  (c²+a²-b²)²
• ——————————— = (a²-h²)
      4c²

Le terme h² est isolé:

            (c²+a²-b²)²
• h² = a² - ———————————
                4c²

                       4c².a²
• a² est équivalent à: ——————
                         4c²

• donc:

       4c².a²-(c²+a²-b²)²
• h² = ——————————————————
              4c²

       2ca²-(c²+a²-b²)²
• h² = ————————————————
            4c²

• rappel: x²-y² = (x+y).(x-y)

• donc:

       [2ca+(c²+a²-b²)].[2ca-(c²+a²-b²)]
• h² = —————————————————————————————————
                      4c²

       (2ca+c²+a²-b²).(2ca-c²-a²+b²)
• h² = —————————————————————————————
                    4c²

       (c²+2ca+a²-b²).(b²-c²+2ca-a²)
• h² = —————————————————————————————
                    4c²

       [(c²+2ca+a²)-b²].[b²-(c²-2ca+a²)]
• h² = —————————————————————————————————
                      4c²

       [(c+a)²-b²].[b²-(c-a)²]
• h² = ———————————————————————
                 4c²

       [(c+a)+b].[(c+a)-b].[b+(c-a)].[b-(c-a)]
• h² = ———————————————————————————————————————
                         4c²

       (c+a+b).(c+a-b).(b+c-a).(b-c+a)
• h² = ———————————————————————————————
                     4c²

       (a+b+c).(a-b+c).(-a+b+c).(a+b-c)
• h² = ————————————————————————————————
                     4c²

Le 1er terme (a+b+c) peut-être répliqué dans les 3 autres car:

• le 2e terme (a-b+c)  est aussi égal à (a+b+c-2b)

• le 3e terme (-a+b+c) est aussi égal à (a+b+c-2a)

• le 4e terme (a+b-c)  est aussi égal à (a+b+c-2c)

et donc:

       (a+b+c).(a+b+c-2b).(a+b+c-2a).(a+b+c-2c)
• h² = ————————————————————————————————————————
                        4c²



Comme (a+b+c) est le périmètre du triangle, il est appelé P et donc:

       P(P-2a)(P-2b)(P-2c)
• h² = ———————————————————
               4c²

      √[P(P-2a)(P-2b)(P-2c)]
• h = ——————————————————————
                2c

La formule:

         base.hauteur
Aire = ————————————
              2

permet d'écrire:

      1   √[P(P-2a)(P-2b)(P-2c)]
• A = — c ——————————————————————
      2            2c

      1
• A = — √[P(P-2a)(P-2b)(P-2c)]
      4

Vérification:

• a = 4
• b = 8
• c = 10

• P = 4+8+10 = 22

• P(P-2a)(P-2b)(P-2c)

  = 22(22-4)(22-8)(22-10) = 3696

• √(3696) = 60,7947

• 60,7947/2c = 60,7947/20 = 3,04

h = 3,04 (résulat attendu!)




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