les dés

et la

distribution

triangulaire










Soit 30 dés (image ci-dessous):

• 6 dés bleus,
• 6 dés verts,
• 6 dés rouges,
• 6 dés jaunes et
• 6 dés blancs.




Chaque jour, pendant une année, les 30 dés sont jetés et les points obtenus sont rapportés sur une feuille d'un tableur.

Note: il y a une feuille par mois. Ci-dessous, à titre d'exemple, est présentée la feuille du mois de janvier. Pour consulter les 12 feuilles de l'année il suffit de cliquer sur le bouton "voir" (sous l'image) pour afficher un PDF qui contient le détail des 12 tirages.





Le total de points de chaque tirage est donc, théoriquement, un nombre compris entre 30 qui est le minimum (quand les 30 dés présentent tous des "1") et 180 qui est le maximum (quand les 30 dés présentent tous des "6").

L'image ci-dessous représente 12 courbes (une par mois) et le nombre de points rapportés chaque jour du mois.




On constate que les points obtenus sont situés dans une fourchette entre 80 et 130 points.

Or, le total des points attendus devrait être compris entre 30 et 180.

Les dés ne sont que des cubes avec un symbole sur chaque face que nous interprétons comme étant les chiffres de 1 à 6.

Alors pourquoi ne voit-on pas apparaître, au moins une fois, un total de 60 points ou de 150 points, par exemple?

Il semblerait que les points sont situés à plus ou moins 24% de la moyenne (qui est 105 points soit le minimum 30 additionné au maximum 180 et le tout divisé par 2).

On peut le vérifier!

En réalité, les tirages présentés dans cette page sont simulés avec la fonction EXCEL suivante:

• "=ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)"
• "=RANDBETWEEN(1,6)" (en anglais)

Ainsi, il n'est pas difficile de présenter ci-dessous quels seraient les tirages sur 6 années ...



















... et de constater qu'à chaque fois les points obtenus sont situés dans une fourchette entre 80 et 130 points.

Retour en arrière en observant un seul tirage. Par exemple, celui du premier jour de janvier (voir les 2 images ci-dessous) qui totalisait 91 points ...







... et de constater (ci-dessous) que les totaux de chaque groupe de dés (17, 21, 19, 12 et 22 points) "tournent" autour de la moyenne qui est 21 (*).

(*) Note: 21 = (6+36)/2




Constat encore vérifié avec les points obtenus par les tirages des 3 jours suivants (de janvier):

--- tirage du 2 janvier ---

• 19 points avec les 6 dés bleus
• 23 points avec les 6 dés verts
• 19 points avec les 6 dés rouges
• 27 points avec les 6 dés jaunes
• 21 points avec les 6 dés blancs

--- tirage du 3 janvier ---

• 18 points avec les 6 dés bleus
• 16 points avec les 6 dés verts
• 22 points avec les 6 dés rouges
• 25 points avec les 6 dés jaunes
• 18 points avec les 6 dés blancs

--- tirage du 4 janvier ---

• 19 points avec les 6 dés bleus
• 13 points avec les 6 dés verts
• 20 points avec les 6 dés rouges
• 18 points avec les 6 dés jaunes
• 21 points avec les 6 dés blancs

Pourquoi?

La réponse se trouve dans la ...



De quoi s'agit-il?

Supposons 2 dés ...


avec 2 dés, le nombre de combinaisons est égal à 6 puissance 2 soit 36,

avec 2 dés, on peut obtenir de 2 points (minimum) à 12 points (maximum).

L'image ci-dessous montre les 36 combinaisons qui permettent d'obtenir de 2 à 12 points ...



... et de constater que plus on s'approche de la valeur moyenne de points (*) et plus le nombre de combinaisons augmentent.

(*) Note: avec 2 dés, le minimum étant 2 et le maximum étant 12, la moyenne est égale à 7 points.

Conclusion: en jetant 2 dés et en additionnant les nombres obtenus sur les 2 faces supérieures, on constate que les tirages ne sont pas distribués de façon uniforme mais en suivant une distribution triangulaire.

Autre exemple, avec 3 dés ...

avec 3 dés, le nombre de combinaisons est égal à 6 puissance 3 soit 216,

avec 3 dés, on peut obtenir de 3 points (minimum) à 18 points (maximum).

L'image ci-dessous montre les 216 combinaisons qui permettent d'obtenir de 3 à 18 points ...



... et de constater que plus on s'approche de la valeur moyenne de points (*) et plus le nombre de combinaisons augmentent.

(*) Note: avec 3 dés, le minimum étant 3 et le maximum étant 18, la moyenne est égale à 10 et 11 points.

Conclusion: en jetant 3 dés et en additionnant les nombres obtenus sur les 3 faces supérieures, on constate que les tirages ne sont pas distribués de façon uniforme mais en suivant une distribution triangulaire.

Sur ces bases, on peut dire qu'un quart (25%) de 100 tirages avec 3 dés dans la main présenteront un total de points égal à 10 ou à 11 points.

Les 3 images ci-dessous analysent 3 fois 100 tirages de 3 dés dans la main.







Dernier test, ci-dessous, avec 1000 tirages de 3 dés dans la main.












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