une
identité
logarithmique
parmi d'autres
identité
logarithmique
parmi d'autres
Rappel: un logarithme exprimé sans indiquer la base est un logarithme de base 10 (base par défaut).
Sinon la syntaxe suivante peut-être utilisée (afin de contourner l'impossibilité d'écrire un texte comprenant des indices en haut ou en bas): log[b](a) signifiant log de a dans la base b.
La notation 10² est équivalente à la notation (officielle) 10^2.
1. Démonstration
(pourquoi log(a^b) = b*log(a)?)
Il faut s'appuyer sur l'identité ...
log(cd) = log(c) + log(d)
qui se démontre ainsi:
• rappel:
10^2 = 100 <=> log(100) = 2
• soit:
10^l = r <=> log(r) = l
10^m = s <=> log(s) = m
10^n = rs <=> log(rs) = n
• on peut noter que:
r = 10^l (voir au-dessus)
s = 10^m (voir au-dessus)
• aussi:
10^n = 10^l * 10^m = 10^(l+m)
par conséquence n = l+m
• dans "n = l+m" remplaçons:
n par log(rs) (voir au-dessus)
l par log(r) (voir au-dessus)
m par log(s) (voir au-dessus)
• et ainsi "n = l+m" s'écrit:
log(rs) = log(r) + log(s)
• et ce n'est pas terminé, car:
log(a^b) = log(aa^(b-1))
• exemple:
log(2^6) = log(2*2^(6-1))
(suite dans l'image ci-dessous)
2. Application
(résolution d'une équation)
• 2^x - 24 = 1000
• 2^x = 1000 + 24
• 2^x = 1024
• log(2^x) = log(1024)
• appliquons: log(a^b) = b*log(a)
• x*log(2) = log(1024)
• x = log(1024) / log(2)
• x = 3,01029 / 0,301029
• x = 10
• 10 est le résutat attendu!
(résolution d'une autre équation)
• 2^x = 35563
• log(2^x) = log(35563)
• x*log(2) = log(35563)
• x = log(35563) / log(2)
• x = 4,550998 / 0,301029
• x = 15,11
• 15,11 est le résutat attendu!
• • •
• •
•
• •
•
