une

identité

logarithmique

parmi d'autres










A V E R T I S S E M E N T


Rappel: un logarithme exprimé sans indiquer la base est un logarithme de base 10 (base par défaut).

Sinon la syntaxe suivante peut-être utilisée (afin de contourner l'impossibilité d'écrire un texte comprenant des indices en haut ou en bas): log[b](a) signifiant log de a dans la base b.

La notation 10² est équivalente à la notation (officielle) 10^2.










1. Démonstration

(pourquoi log(a^b) = b*log(a)?)

Il faut s'appuyer sur l'identité ...

log(cd) = log(c) + log(d)

qui se démontre ainsi:

• rappel:

  10^2 = 100 <=> log(100) = 2

• soit:

  10^l = r <=> log(r) = l

  10^m = s <=> log(s) = m

  10^n = rs <=> log(rs) = n

• on peut noter que:

  r = 10^l (voir au-dessus)

  s = 10^m (voir au-dessus)

• aussi:

  10^n = 10^l * 10^m = 10^(l+m)

  par conséquence n = l+m

• dans "n = l+m" remplaçons:

  n par log(rs) (voir au-dessus)

  l par log(r) (voir au-dessus)

  m par log(s) (voir au-dessus)

• et ainsi "n = l+m" s'écrit:

  log(rs) = log(r) + log(s)

• et ce n'est pas terminé, car:

  log(a^b) = log(aa^(b-1))

• exemple:

  log(2^6) = log(2*2^(6-1))

  (suite dans l'image ci-dessous)






2. Application

(résolution d'une équation)



• 2^x - 24 = 1000

• 2^x = 1000 + 24

• 2^x = 1024

• log(2^x) = log(1024)

• appliquons: log(a^b) = b*log(a)

• x*log(2) = log(1024)

• x = log(1024) / log(2)

• x = 3,01029 / 0,301029

x = 10

• 10 est le résutat attendu!

(résolution d'une autre équation)



• 2^x = 35563

• log(2^x) = log(35563)

• x*log(2) = log(35563)

• x = log(35563) / log(2)

• x = 4,550998 / 0,301029

x = 15,11

• 15,11 est le résutat attendu!






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