divisibilité

de

la somme

ou

du produit

de

3 entiers

consécutifs






























Somme





La somme de 3 entiers consécutifs:

La somme de 3 entiers consécutifs est toujours divisible par 3 (voir ci-dessous).


01

Divisibilté par 3:

   • le premier entier est n

   • le deuxième entier consécutif est n+1

   • le troisième entier consécutif est n+2

   en conséquence:

   • somme = n + (n+1) + (n+2)

   • somme = n + n + n + 1 + 2

   • somme = 3n + 3

   • somme = 3(n + 1)

--=O=--

Constat: la somme de 3 nombres entiers consécutifs est toujours égale à 3 fois le nombre qui est au milieu de la série.

--=O=--

On peut également dire que pour calculer (rapidement) la somme de 3 nombres entiers consécutifs il suffit de multiplier par 3 le nombre qui est au milieu de la série.

Exemples:

   • la somme de 306 + 307 + 308 = 3*307 = 921

   • la somme de 7210 + 7211 + 7213 = 3*7211 = 21633




















Produit





Le produit de 3 entiers consécutifs:

Le produit de 3 entiers consécutifs est toujours divisible par 6 (voir ci-dessous).


02

Rappel:

Tout nombre entier peut-être décomposé en un produit de facteurs premiers (c'est-à-dire en un produit de facteurs de nombres premiers).

   Exemples:

   • 6 = 2*3 (2 et 3 sont des facteurs premiers)

   • 18 = 2*3*3

   • 24 = 2*2*2*3

   • 25 = 5*5

   • 1024 = 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 (ou 2 puissance 10)

   • 2017 = 1*2017 (car 2017 est un nombre premier)

   • 2022 = 2*3*337

--=O=--

Divisibilité par 2:

Dans une suite de 3 entiers consécutifs, il y a au moins un nombre entier pair (sinon deux), et un nombre pair est toujours divisible par le facteur premier 2.

   Exemple:

   • n = 561 = 3*11*17

   • n+1 = 562 = 2*281 (562 est pair)

   • n+2 = 563 = 1*563

--=O=--

Divisibilité par 3:

Comme il s'agit de suites consécutives de 3 nombres entiers, chacune des suites comprendra obligatoirement un nombre appartenant la table des 3. Et ce nombre sera alors divisible par le facteur premier 3.

   Exemple:

   • n = 19

   • n+1 = 20

   • n+2 = 21 = 3*7 (21 appartient à la table des 3)

   Autre exemple:

   • n = 561 = 3*187 (561 appartient à la table des 3)

   • n+1 = 562

   • n+2 = 563

--=O=--

Divisibilité par 6:

Un nombre est divisible par 6 si sa décomposition, en un produit de facteurs premiers, contient 2 et 3.

   Exemples:

   • 24 = 2*2*2*3 (24 est divisible par 6)

   • 8*12 = (2*2*2)*(2*2*3) (8*12 est divisible par 6)

   • 75 = 3*5*5 (75 n'est pas divisible par 6)

Le produit de 3 nombres entiers consécutifs est toujours divisible par 6 car la décomposition des nombres de cette suite en un produit de facteurs premiers contient le facteur 2 et le facteur 3.