Présentation: dans un immeuble en forme de pyramide les appartements sont numérotés de 1 (pointe de la pyramide) à 289 (dernier appartement tout en bas à droite).






Question: quelle formule mathéma-tique permettrait à un occupant de calculer le numéro de l'appartement de son voisin du dessus?

Comment, par exemple, savoir (via une formule générale) quel numéro d'appartement se trouve au-dessus du numéro 187 (voir image ci-dessus)?

Note: la formule recherchée peut-être du type de celle d'un tableur (Excel de Microsoft, par exemple).











L'image ci-dessus fait apparaître les différents niveaux de la pyramide. Ainsi, en numérotant de 1 à 17 à partir du sommet, on constate que les numéros des appartements tout au bout à droite sont les carrés du niveau correspondant.

Ainsi, le dernier appartement à droite du niveau 8 est l'appartement 64 (qui est le carré de 8). Autre exemple: le dernier appartement à droite du niveau 11 est l'appartement 121 (qui est le carré de 11).

On notera que les appartements des bouts n'ont pas de voisins du dessus. Ci-dessous, les formules 1 et 2 traitent de ces cas (pour produire le message "pas de voisin au-dessus"). La formule 3 calcule le numéro de l'appartement du voisin du dessus. Enfin, les 3 formules sont combinées ensemble afin de produire le résultat définitif.

En prenant comme exemple l'apparte-ment 187 (cellule X17 de la feuille, téléchargeable, de mon tableur), il faut définir à quel niveau de la pyramide se trouve cet appartement. Ce niveau est la racine carrée de l'appartement du bout (ici, l'appartement 196).

Pour calculer la racine carrée de 196 à partir de 187, il faut prendre la partie entière de la racine carrée de 187 (=13), y ajouter 1 (=14).

Le double de 14 (14*2=28), auquel on retire 2 (28-2=26), est retiré de 187 pour donner 161 qui est bien le numéro de l'appartement du dessus.

Note: en doublant le niveau, puis en retirant 2, on obtient systématique-ment le décalage correspondant à l'écart entre deux appartements superposés.






Formule 1: si l'appartement est situé tout au bout à droite, il n'y a pas de voisin au-dessus de lui.

La méthode consiste à vérifier si la racine carrée du numéro d'appartement est un nombre entier.






Formule 2: si l'appartement est situé tout au bout à gauche, il n'y a pas de voisin au-dessus de lui.

La méthode consiste à vérifier si la racine carrée du numéro d'appartement auquel on a retiré 1 est un appartement au bout du niveau n-1 dont la racine carrée doit être est un nombre entier.






Formule 3: calcul du numéro de l'appartement qui est situé au-dessus.

La méthode consiste à identifier la racine carrée du numéro de l'appartement du bout à droite du niveau correspondant, puis de multiplier par 2 le résultat obtenu, et enfin de retirer 2.

Le nombre ainsi calculé est l'écart qui correspond à la différence entre deux numéros d'appartements superposés.






Formule finale: les 3 formules précédentes sont regroupées en une seule formule qui est donc ...






Pour télécharger le fichier Excel (Microsoft), il suffit de cliquer sur le bouton "voir" ci-dessous.

Note: la table Excel est rangée dans un fichier compressé (ZIP). Pour votre sécurité, la table ne contient aucune macro et aucun code VBA (Visual Basic for Applications).